Corrección de errores cuánticos reales
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Resumen
En este trabajo desarrollaremos nociones y resultados sobre la corrección de errores en códigos cuánticos. Nuestro primer objetivo es exhibir parte de la teoría desarrollada para la corrección de errores, primero explicaremos, a través del Teorema de knill-Laflame, las condiciones que hacen que un error sea corregible, después veremos en el Teorema 4.2.13 que subespacios del espacio de n-cubit (espacio de códigos) podrán ser protegidos contra ciertos conjuntos de errores; para llegar a estos resultados dotaremos al conjunto de operadores de error con una estructura de espacio simpléctico, la cual estudiaremos a profundidad describiendo sus subespacios isotrópicos, grupo simpléctico, entre otras características. Posteriormente, entendiendo que los errores sobre un código cuántico son el accionar de matrices unitarias complejas, nuestro segundo objetivo es el de reconstruir la teoría de corrección de errores pero considerando solo errores reales, en este caso la estructura de espacio simpléctico será reemplazada por la de un espacio cuadrático y el papel del grupo simpléctico será tomado por el grupo ortogonal, lo que finalmente desconvocara en una teoría de gran armonía donde los errores reales no necesitarán pasar al mundo complejo para ser corregidos
Resumen
In this work we will develop notions and results about quantum error correction codes. Our first objective is to exhibit part of the theory developed for the correction of errors, first we will explain, through the knill-Laflame theorem, the conditions that make an error correctable, then we will see in Theorem 4.2.13 which subspaces of the n-cubit space (code space) may be protected against certain sets of errors; to reach these results we will provide the set of error operators with a symplectic structure, which we will study in depth by describing its isotropic subspaces, symplectic group, among other characteristics. Subsequently, we are going to understand that errors on a quantum code are the action of complex unitary matrices, our second objective is to reconstruct the error correction theory but considering only real errors, in this case the symplectic structure will be replaced by a quadratic space and the role of the symplectic group will be taken by the orthogonal group, which will finally be disconcerted in a theory of great harmony where the real errors will not need to pass into the complex world to be corrected.