Gauge theories on transitive Lie algebroids
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Resumen en inglés
The dynamics of the elementary particles of physics and their interactions are modeled by quantized gauge theories, a type of field theories. These include Quantum Electrodynamics, the Electroweak Interaction, Quantum Chromodynamics and the Standard Model of particle physics, which describe three of the four known fundamental forces and which classify all observed fundamental particles. The mathematical framework usually used for the formulation of gauge theories, prior to quantization, is that of the differential geometry of principal fiber bundles and vector bundles. In this document we study the use of the structure of transitive Lie algebroids as the mathematical framework for a possible generalization of the formulation of a gauge theory through an action functional: the integral of a differential form on the algebroid. From this, the standard formulation is derived as a particular case in which the underlying algebroid is the Atiyah Lie algebroid associated to the corresponding principal bundle.
Resumen en español
La dinámica de las partículas elementales de la física y sus interacciones son modeladas por teorías gauge cuánticas, un tipo de teorías de campo. éstas incluyen a la Electrodinámica Cuántica, la Interacción Electrodébil, la Cromodinámica Cuántica y al Modelo Estándar de la física de partículas, el cual describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales y que clasifica todas las partículas fundamentales observadas. El formalismo matemático usualmente utilizado para la formulación de las teorías gauge, previo a la cuantización, es el de la geometría diferencial de haces principales y haces vectoriales. En este documento estudiamos el uso de la estructura de los algebroides de Lie transitivos como formalismo matemático para una posible generalización de la formulación de una teoría gauge a través de un funcional de acción: la integral de una forma diferencial sobre el algebroide. A partir de esto, la formulación estándar se deriva como el caso particular en que el algebroide subyacente sea el algebroide de Lie de Atiyah asociado al haz principal correspondiente.