Galois theory and Hopf monads
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Resumen
La teoría de Galois trata principalmente del uso de simetrías para clasificar Estructuras. A groso modo, se han formulado dos perspectivas al respecto: la perspectiva de Artin, en la cual el teorema fundamental es la correspondencia entre subgrupos de simetrías y sub-estructuras, dada en términos de estabilizadores e invariantes; y la perspectiva de Grothendieck, en la cual una categoría y un funtor que satisfacen ciertas propiedades inducen una equivalencia con la categoría de acciones del grupo de simetrías. En este trabajo profundizamos la formulación de Grothendieck, por lo cual exponemos y desarrollamos la idea de que para las categorías monoidales la teoría de Galois puede ser entendida como una equivalencia con la categoría de acciones de una mónada de Hopf. Nuestra pregunta de investigación fue ¿cómo podemos encajar la perspectiva de Artin en este contexto? Descubrimos que, para una mónada aumentada, existen propiedades universales que definen los invariantes y estabilizadores, definiciones que naturalmente conllevan a una correspondencia de Galois. Adicionalmente, en el caso de una mónada de Hopf aumentada sobre una categoría monoidal cerrada, encontramos procedimientos explícitos para calcular dichos invariantes y estabilizadores. Este documento contiene, además del desarrollo pleno de la conexión de Galois inherente a una mónada de Hopf aumentada, una introducción amigable a las mónadas de Hopf y una exposición de algunos ejemplos clásicos de teoría de Galois a la luz de la perspectiva aquí propuesta.
Resumen
Galois theory is essentially about using symmetry for classifying structure. Historically we identify two broad formulations: Artin's formulation, in which the fundamental theorem is a correspondence between subgroups of symmetries and intermediate structures, given by taking invariants and stabilizers; and Grothendieck's formulation, in which a category with a functor that satisfies some properties is equivalent to the category of actions of its group of symmetries. In this work, furthering Grothendieck perspective, we expose and develop the idea that Galois theory on monoidal categories could be framed as Hopf monadicity. That is as an equivalence with the Eilenberg-Moore category of actions of a Hopf monad. Our main question was how to recover Artin's perspective in this framing. We discovered that, in the case of an augmented monad, there are universal definitions of invariants and stabilizers which yield a naturally-arising Galois correspondence. Additionally, in the case of an augmented Hopf monad over a monoidal closed category, we found explicit procedures for the computation of invariants and stabilizers. This document contains an approachable introduction to Hopf monads, a comprehensive development of the Galois connection inherent to an augmented Hopf monad and an exposition of some classical examples of Galois theory under the framework here proposed.
