Braid group representations from braiding gapped boundaries of Dijkgraaf-Witten theories
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Resumen
In Topological Quantum Computation, quantum gates are implemented by representations of the braid group, B_n, on spaces of morphisms in a modular category C. For a given group G and a 3-cocycle \omega, images of that representation on C = Z(Vec^\omega_G) are finite, but is not known in general what specific gates can be obtained. A family of algebras in Z(G, \omega) called Lagrangian Algebras are of particular physical interest. They are denoted L[H, \gamma], where H is a subgroup and \gamma is a 2-cocycle on H. We show that the spaces Hom_{Z(G,\omega)}(1, L[H, \gamma]^n) have a canonical structure of monomial spaces and that with respect to this structure, the representation of B_n is monomial. We calculate the nonzero entries of these matrices and use this information to show how they can be used to implement a CNOT gate.
Resumen
En Computación Cuántica Topológica, las compuertas cuánticas son implementadas a través de representaciones del grupo de trenzas, B_n, en espacios de morfismos de una categoría modular C. Para un grupo dado G y un 3-cociclo w, imágenes de esa representación en C=Z(Vec_G^w) son finitas, pero se desconoce en general qué compuertas específicamente se pueden obtener. Una familia de álgebras in Z(G,w), llamadas Álgebras Lagrangianas, son de particular interés. Se denotan L[H,\gamma], donde H es un subgrupo y \gamma es un 2 cociclo en H. Mostramos que los espacios Hom_{Z(G,w)}(1,L[H,\gamma]^n) tiene una estructura canónica de espacios monomial y que con respecto a esa estructura, la representación de B_n es monomial. Calculamos las entradas diferentes de cero de estas matrices y usamos esta información para mostrat cómo se puede usar esta información para implementar una compuerta CNOT.