Generalizaciones del principio Mín-Máx

Abstract

En general, no es una tarea fácil calcular los autovalores de un operador lineal de forma directa. Sin embargo, si el operador en cuestión es semiacotado, como por ejemplo el operador de Schrödinger, el principio Mín-Máx o principio variacional clásico es una herramienta muy versátil que puede ser aplicado para obtener información acerca de la existencia de autovalores así como estimativos de los mismos. Si bien este teorema provee una caracterización sencilla de los autovalores de un operador A, es importante resaltar que dicho principio solo da información sobre los autovalores por debajo del espectro esencial. En particular, este teorema no puede ser utilizado para estudiar los autovalores en brechas del espectro esencial. Esta situación es típica para operadores de derivación que no son semiacotados por abajo, particularmente en el caso de operadores de Dirac. Dado lo anterior, es deseable tener una caracterización similar a la del principio variacional clásico para poder calcular o estimar, bajo ciertas hipótesis, los autovalores de dichos operadores en brechas de su espectro esencial. Una caracterización así ya fue desarrollada por Griesemer, Lewis y Siedentop, más aún, los resultados hallados por estos autores aplican justamente para operadores no semiacotados que tengan brechas (gaps) en su espectro esencial. De ahí que el objetivo principal de este trabajo sea estudiar detallamente los artículos de estos autores, concretamente, se estudiarán sus resultados acerca del operador de Dirac. Este operador es de gran interés dado que aparece recurrentemente en Mecánica Cuántica y Física de Partículas.

In general, it is not an easy task to directly calculate the eigenvalues of a linear operator. However, if the operator in question is semi-bounded, such as the Schrödinger operator, the Min-Max principle or classical variational principle, is a very versatile tool that can be applied to obtain information about the existence of eigenvalues of linear operator as well as estimates of them. Although this theorem provides a simple characterization of the eigenvalues of an operator A, it is important to remark that this principle only gives information about the eigenvalues below the essential spectrum. In particular, this theorem cannot be used to study the eigenvalues of A in gaps of its essential spectrum. This situation is typical for derivation operators that are not semi-bounded below, particularly in the case of Dirac operators. Given the above, it is desirable to have a characterization similar to that of the classical variational principle in order to calculate or estimate, under certain hypotheses, the eigenvalues of the previously mentioned operators in gaps of its essential spectrum. Such a characterization was already developed by Griesemer, Lewis and Siedentop. Hence, the main objective of this work is to study in detail the articles of these authors, specifically, their results about the Dirac operator will be detailed studied. This operator is of great interest since it appears recurrently in Quantum Mechanics and Particle Physics.