On the theory of the logarithmic transseries field as an ordered valued logarithmic field

Abstract

"In this work we focus on the study of the first order theory of the logarithmic transseries field T_log as an ordered valued logarithmic field, which is conjectured to have a good model theory. As a first step in such direction, we study the theory of T_log as an ordered valued field with restricted analytic functions and a partial exponential function defined in the valuation ring. Among other things, we show that this theory is model complete and complete. In the same spirit, we also consider a class of Hahn fields equipped with a convex valuation ring and a partial exponential function defined in the valuation ring, and we show an Ax-Kochen-Ershov type equivalence theorem for this class of structures. As a second step, we study the theory of the structure induced by the logarithm of T_log in its value group and we prove the model completeness and completeness of this theory. Finally, we use the previous work to propose a theory of ordered valued logarithmic fields, we show that T_log can be expanded to a model of this theory and state some conjectures that would prove the model completeness."--Tomado del Formato de Documento de Grado.

"En este trabajo nos centramos en el estudio de la teoría de primer orden del cuerpo de transseries logarítmicas T_log como un cuerpo ordenado valuado y logarítmico, bajo la conjetura que ésta tiene una buena teoría de modelos. Como primer paso en tal dirección, estudiamos la teoría de T_log como un cuerpo ordenado y valuado con funciones analíticas restringidas y una función exponencial parcial definida en el anillo de valuación. Entre otras cosas demostramos que tal teoría es modelo completa y completa. Con el mismo espíritu consideramos una clase de cuerpos de Hahn equipados con un anillo de valuación convexo y una función exponencial parcial definida en tal anillo y demostramos un teorema de equivalencia tipo Ax-Kochen-Ershov para esta clase de estructuras. Como segundo paso, estudiamos la teoría de la estructura inducida por el logaritmo de T_log en su grupo de valuación y probamos que esta teoría es modelo completa y la completa. Finalmente, utilizamos lo trabajado anteriormente para proponer una teoría de cuerpos ordenados valuados y logarítmicos, mostramos que T_log puede expandirse a un modelo de esta teoría y establecemos algunas conjeturas que brindan un camino para probar la modelo completitud."--Tomado del Formato de Documento de Grado.