Ricci flow on the cylinder and stability of geometric flows on the circle

Abstract

"Esta tesis consta de dos partes. En la primera parte se estudia el flujo de Ricci sobre un cilindro con frontera, dotado con una métrica inicial tal que la curvatura escalar es negativa y la curvatura geodésica sobre su frontera es positiva. Se muestra que la existencia del flujo de Ricci normalizado está en correspondencia con la existencia del flujo no normalizado; se hallan cotas para el crecimiento del área para el flujo no normalizado y bajo la hipótesis de simetría rotacional se demuestra que el flujo existe para cualquier intervalo de tiempo finito. En la segunda parte se estudia la evolución de curvas planas bajo la acción de un flujo geométrico. Se demuestra que si la curva inicial es suficientemente cercana a un círculo entonces las soluciones al flujo también convergen a un círculo. Se estudia el comportamiento asintótico y se usan los resultados obtenidos para mostrar como algunos flujos estudiados por otros autores caen dentro de las hipótesis del teorema principal."-- Tomado del Formato de Documento de Grado.

"This thesis has two parts. In the first part we study the Ricci flow on a cylinder with boundary, endowed with an initial metric such that the scalar curvature is negative and the geodesic curvature of the boundary is positive. We proved that under the unnormalized Ricci flow the area remains finite in any finite interval of time, the normalized flow exists for all time if and only if the unnormalized flow so does, and if the initial metric is rotationally symmetric then the scalar curvature remains bounded on bounded intervals of time. In the second part, we study the stability of the circle in the case of some geometric flows and we give some estimates on the convergence toward the unit circle for solutions to these flows, assuming that the initial condition is near a circle. Finally, we give some examples where our main theorem can be applied."-- Tomado del Formato de Documento de Grado.