Classification of well-rounded sublattices for lattice code construction
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"En este proyecto, damos las condiciones necesarias y suficientes, en términos de una Z-base, para que los retículos de rango completo en dimensiones 2 y 3 sean bien-redondeados. Estas condiciones dependen del hecho de que los retículos bien-redondeados en dimensiones 2 y 3 tienen Z-bases de vectores mínimos. Adicionalmente, damos condiciones bajo las cuales un retículo bien-redondeado en dimensiones bajas (? 8) tiene una Z-base de vectores mínimos. Por lo tanto, es posible que se pueda determinar si un retículo es bien-redondeado en términos de Z-bases en dimensiones bajas. Además, estudiamos subretículos bien-redondeados de Z^2 y Z^3 con las condiciones encontradas anteriormente. En dimensión 2, encontramos una parametrización de las clases de similaridad de subretículos bien-redondeados de Z^2 en términos de triplas Pitagóricas primitivas positivas y enteras o, equivalentemente, de un parámetro racional. También estudiamos una familia de subretículos Pitagóricos de Z^3 definidos en términos de pares enlazados de triplas pitagóricas y cuádruplas pitagóricas." -- Tomado del Formato de Documento de Grado.
Resumen
"In this project, we give necessary and sufficient conditions, in terms of a Z-basis, for full-rank lattices in dimensions 2 and 3 to be well-rounded. These conditions depend on the fact that well-rounded lattices in dimensions 2 and 3 have Z-basis of minimal vectors. Additionally, we give conditions under which a well-rounded lattice in low dimensions (? 8) has a Z-basis of minimal vectors. Thus, it might be possible to determine wellroundness in terms of Z-bases of a lattice in low dimensions. Furthermore, we study well-rounded sub-lattices of Z^2 and Z^3 under the conditions found before. In dimension 2, we found a parametrization of the WR similarity classes of sublattices of Z^2 in terms of positive integer primitive Pythagorean triples or, equivalently, a rational parameter. We also study a family of Pythagorean sublattices of Z^3 defined in terms of linked pairs of Pythagorean triples and Pythagorean quadruples." -- Tomado del Formato de Documento de Grado.