Teorema funcional del límite central para martingalas
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Resumen
Las primeras versiones del Teorema del Límite Central se remontan a las ideas de DeMoivre y Laplace , en donde la sucesión de sumas renormalizadas de variables aleatorias de Bernoulli con varianza acotada y promedio finito convergen en distribución a una variable aleatoria con distribución normal estándar. En el presente trabajo se busca comprender una versión generalizada del Teorema del Límite Central donde la sucesión de sumas renormalizadas de variables aleatorias se sustituyen por martingalas en tiempo continuo, un tipo de procesos estocásticos, con saltos acotados y variación cuadrática lineal en el tiempo. De esta manera al considerar una sucesión de martingalas renormalizadas el lí?mite es un proceso estocástico, un movimiento Browniano, en vez de vectores aleatorias Gaussianos. Siguiendo el articulo de Ward Whitt, para conseguir demostrar el Teorema del Límite Central en este contexto se usará la siguiente estructura. Primero, se introducen las herramientas necesarias para demostrar que toda subsucesión convergente converge en el espacio de funciones continuas y converge al mismo limite (a través de un corolario del Teorema de Prokhorov ). Segundo se caracteriza el límite de la sucesión, o más precisamente de alguna sub-sucesión, es decir se muestra que el limite es un movimiento Browniano. Por otro lado para ilustrar el Teorema del Límite Central para Martingalas se expondrán dos ejemplos de sucesiones de martingalas locales que convergen a un movimiento Browniano, específicamente, se estudiará una sucesión de procesos de Poisson compuestos compensados y una sucesión de caminatas aleatorias.
Resumen
The first versions of the Central Limit Theorem go back to the ideas of DeMoivre and Laplace, where the succession of renormalized sums of Bernoulli random variables with bounded variance and finite average converge in distribution to a random variable with standard normal distribution. In this paper we seek to understand a generalized version of the Central Limit Theorem where the succession of renormalized sums of random variables is replaced by martingale in continuous time, a type of stochastic processes, with bounded jumps and linear quadratic variation in time. Thus, when considering a succession of renormalized martingale, the limit is a stochastic process, a Brownian movement, instead of random Gaussian vectors. Following Ward Whitt's article, the following structure will be used to prove the Central Limit Theorem in this context. First, the necessary tools are introduced to demonstrate that all convergent sub-convergence converges in the space of continuous functions and converges to the same limit (through a corollary of Prokhorov's Theorem). Second, the limit of the sequence is characterized, or more precisely of some sub-sequence, that is to say that the limit is a Brownian movement. On the other hand, to illustrate the Central Limit Theorem for Martingale, two examples of successions of local martingale that converge to a Brownian movement will be presented, specifically, a succession of compensated compound Poisson processes and a succession of random walks will be studied.