Well-rounded unit lattices from real cyclic number fields of small degree

Abstract

En este trabajo estudiamos retículos de unidades de cuerpos de números cíclicos de grado pequeño. Nos concentramos sobre todo en encontrar condiciones suficientes y necesarias para que un retículo de rango k de este tipo contenga k vectores minimales linealmente independientes. Los retículos que satisfacen la propiedad anteriormente mencionada se llaman bien balanceados. Para hacer esto, definimos y estudiamos una clase de retículos llamada Rn-retículos que extrapola las propiedades algebraicas de los retículos de unidades. Luego nos enfocamos en encontrar espacios parametrizadores de Rn-retículos para luego encontrar condiciones suficientes para que un Rn-retículo sea bien balanceado en los casos n=3, 4,5,6,7,11 y 13. Después aplicamos nuestros resultados para estudiar los vectores minimales de los retículos de unidades asociados ciertas familias de cuerpos números

In this work we study unit lattices from real cyclic number fields of small degree. We are mainly interested in finding sufficient and necessary conditions for a rank k unit lattice to have k linearly independent minimal vectors. Lattices that satisfy the above property are called well-rounded lattices. In order to find to these conditions, we define and study Rn-lattices, which extrapolate the algebraic properties of unit lattices. We then focus ourselves on finding parametrizing spaces of Rn-lattices to describe conditions for an Rn-lattice to be well rounded in the cases n=3,4,5,6,7,11 and 13. Afterwards, we apply our results to study the minimal vectors of the unit lattices of some famous families of number fields