Versión paramétrica del fenómeno de cutoff para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck bajo la distancia de Wasserstein
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Resumen en español
Este trabajo toma como caso de estudio a la solución de la ecuación diferencial lineal estocástica $dX_t^\epsilon(x)=-\mathcal{Q}X_t^\epsilon dt + \epsilon dB(t), \; X_0^\epsilon = x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, conocida como el proceso Ornstein-Uhlenbeck con ruido Browniano $d-$dimensional, y busca determinar de manera paramétrica las condiciones bajo las cuales se tiene un perfil de termalización (o \emph{cutoff}) en la distancia de Wasserstein-2. Para esto, se aplica la fórmula de variación de parámetros para ecuaciones diferenciales estocásticas para determinar la solución de $X_t^{\epsilon}(x)$. Más aún, se estudian las condiciones de ortogonalidad necesarias y suficientes de una sub-colección de vectores propios generalizados de $\mathcal{Q}$ y su dependencia del valor inicial $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, para determinar la existencia y forma de un perfil de termalización entre las distribuciones de $X_t^\epsilon(x)$ y su medida invariante $\mu^\epsilon$. En particular, se considera el caso de estudio donde $\Q$ es una matriz $d\times d$ simétrica, para el cual se puede establecer explícitamente las distribuciones del proceso como $$X_t^{\epsilon}(x)\sim \normal{e^{-\Q t}x}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}(\Id{d}-e^{-2\Q t})} \hspace{0.5cm}\text{ y } \hspace{0.5cm} \mu^{\epsilon}\sim \normal{0}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}}.$$ Finalmente, dado que los parámetros de ambas distribuciones corresponden a sus primeros y segundos momentos, se observa que basta verificar la convergencia de los parámetros para determinar la convergencia en Wasserstein$-2$, establecer la forma del perfil y verificar las cotas teóricas para la distancia entre ambas distribuciones. Lo cual, al aplicar los resultados de (Barrera y Jara, 2020), se reduce a un análisis de ciertos valores y vectores propios de $\Q$.
Resumen en inglés
This project's objective is to find the solution of the linear stochastic differential equation given by $dX_t^\epsilon(x)=-\mathcal{Q}X_t^\epsilon dt + \epsilon dB(t), \; X_0^\epsilon = x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, also known as an Ornstein-Uhlenbeck type of process with a $d$-dimensional Brownian noise. Moreover, for the Wasserstein-2 distance, sufficient and necessary conditions for the existence of a cutoff phenomenon are verified and given explicitly according to the parameters of the Ornstein-Uhlenbeck process $X_t^\epsilon(x)$ and its invariant measure $\mu^\epsilon$. Particularly, when $\mathcal{Q}$ is a $d \times d$ symmetric matrix, the distributions of $X_t^\epsilon(x)$ and $\mu^\epsilon$ can be calculated explicitly as $\normal{e^{-\Q t}x}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}(\Id{d}-e^{-2\Q t})} \hspace{0.5cm}\text{ and } \hspace{0.5cm} \normal{0}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}}$, respectively. To do so, the solution of the stochastic differential equation is obtained by the variation of parameters method. Furthermore, it is shown how an orthogonality condition of a sub-collection of $\mathcal{Q}$'s eigenvectors and the initial value $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, determine the existence and the shape of a cutoff profile. Finally, it is noted that fo$X_t^\epsilon(x)$ and $\mu^\epsilon$ the first and second moments are described by the parameters: $\mathcal{Q}, \epsilon$ and $x\in\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$. Consequently, it is shown how a parameter convergence implies a Wasserstein$-2$ convergence, which leads to an alternative way to verify the theoretical bounds for the abrupt convergence of the process to its invariant measure, based entirely on the properties of certain eigenvalues and eigenvector of $\mathcal{Q}$.