Métodos de simetrías e invariantes para ecuaciones diferenciales

Abstract

Es fácil visualizar las simetrías de $y'=0$, pues las curvas de solución son líneas paralelas. Sin embargo, puede que, en una EDO de primer orden complicada, no sea posible encontrar las simetrías con tan solo ver una imagen de sus curvas de solución. En todo caso, la condición de simetría requiere que cualquier simetría mapee el conjunto de curvas de solución en el plano $(x,y)$ a un conjunto idéntico de curvas en el plano $(\hat{x},\hat{y})$. Consideremos una EDO de primer orden, $\frac{dy}{dx}=\omega(x,y)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\delta_x}{\delta_y}$. Supongamos que podemos encontrar un grupo uniparamétrico de Lie de simetrías no triviales, a partir de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, como la anterior. Entonces, el grupo de Lie puede ser usado para determinar la solución general de la EDO. Este resultado muestra la utilidad de las simetrías de Lie, pues es completamente independiente de la función $\omega(x,y)$. En este texto se desarrollan técnicas que puedan ser aplicadas a cualquier EDO de la forma $\frac{dy}{dx}=\omega(x,y)$.

It is easy to visualize the symmetries of $y'=0$, since the solution curves are parallel lines. However, in a complicated first-order ODE, it may not be possible to find symmetries just by looking at a picture of their solution curves. In any case, the symmetry condition requires that any symmetry map the set of solution curves in the $(x,y)$ plane to an identical set of curves in the $(\hat{x},\hat{y})$ plane. Consider a first order ODE, $\frac{dy}{dx}=\omega(x,y)=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\delta_x}{\delta_y}$. Suppose that we can find a one-parameter Lie group of non-trivial symmetries, from an ordinary first-order differential equation, like the one above. Then, the Lie group can be used to determine the general solution of the ODE. This result shows the usefulness of Lie symmetries, since it is completely independent of the function $\omega(x,y)$. In this text, techniques are developed that can be applied to any ODE of the form $\frac{dy}{dx}=\omega(x,y)$.