Comparación entre esquemas explícitos fuertes para solucionar ecuaciones diferenciales estocásticas

Abstract

Los modelos matemáticos son usados para describir comportamientos en distintas ramas de la ciencia, de la economía y de la ingeniería, entre otras aplicaciones. En muchas de éstas existen fluctuaciones aleatorias que se generan dentro de la dinámica del sistema y suelen existir relaciones entre el valor de una variable y sus tasas de cambio, que se expresan como una ecuación diferencial. Lo anterior destaca la importancia de modelar y solucionar ecuaciones diferenciales con componentes estocásticos. Tanto para las ecuaciones diferenciales determinísticas como las estocásticas no existen herramientas suficientes para obtener soluciones analíticas de los problemas complejos que se suelen modelar, por lo cual es necesario recurrir a métodos numéricos de aproximación. El objetivo del trabajo es comparar distintos esquemas numéricos existentes que aproximan las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, particularmente los esquemas de Euler-Maruyama y Milstein. El proyecto desarrolla el movimiento Browniano y el cálculo de Ito, que son conceptos fundamentales para formular y solucionar ecuaciones diferenciales estocásticas, así como para demostrar los órdenes de convergencia de los métodos. Con estos conceptos, se demuestra que el esquema de Euler-Maruyama tiene orden de convergencia 0.5 y el de Milstein tiene orden 1.0. Finalmente, el documento presenta simulaciones computacionales para evidenciar la naturaleza de los procesos estocásticos estudiados y el funcionamiento de los esquemas numéricos que los aproximan.

Mathematical models are used to describe behaviors in different domains of science, economics and engineering, among other fields. In many of these applications there are random fluctuations that are generated within the dynamics of the system and there are usually relationships between the value of a variable and its rates of change, which are expressed as a differential equation. The above highlights the importance of modeling and solving differential equations with stochastic components. For both deterministic and stochastic differential equations there are not enough tools to obtain analytical solutions of the complex problems that are usually modeled, so it is necessary to rely on numerical approximation methods. The objective of this thesis is to compare different existing numerical schemes that approximate the solutions of stochastic differential equations, particularly the Euler-Maruyama and Milstein schemes. The project develops Brownian motion and It¯o calculus, which are fundamental concepts for the formulation and for solving stochastic differential equations, as well as for proving the convergence orders of the methods. With these concepts, it is shown that the Euler-Marayama scheme has convergence order 0,5 and the Milstein scheme has order 1,0. Finally, the paper presents computational simulations to show the nature of the stochastic processes studied and the performance of the numerical schemes that approximate them.