Metodo de Monte Carlo y su aplicación a ecuaciones diferenciales parciales elípticas
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Resumen
The Monte Carlo Method is a numerical method for solving physical and mathematical problems through the simulation of random variables. The Monte Carlo method was named for its analogy with roulette games in casinos, the most famous of which is the Monte Carlo casino whose built in 1856 by Prince Charles III of Monaco, 1861. The great importance of the Monte Carlo Method lies in the fact that it can attack problems very complicated that are linked to random processes or that can be associated with a probabilistic artificial structure (solving integrals of several variables, minimizing functions, etc.) with a relatively simple algorithm. Thanks to advances in computational constructions, with the Monte Carlo Method today you can solve problems that would have been unthinkable. In these methods, an approximate error of 1 P N Where N is the number of iterations and thus to gain an additional tenth of an approximation you need to increase by 100 times To N. The problems we will address here are the ordinary equations and elliptic equations, whose theories of existence and regularity have been studied extensively, see [5]. In this work we will study a Monte Carlo method for finding the numerical solution of a linear elliptic equation. This thesis Is structured as follows. In the first chapter we describe some elementary notions of probability that will be used in this work. In Chapter 2 we give a review of the finite differences and their relationship with Markov chains. In chapter 3, we give a simple example where the Monte Carlo method is used, one of them is the calculation of integrals, and another the resolution of a boundary problem for an ordinary differential equation (here we make use of the famous ruin game). In chapter 4 we apply the Monte Carlo Method to differential equations ellipticals. It should be noted that this paper shows results that although they are in the literature, have been worked independently by the author (unless stated otherwise), seeking.
Resumen
El método de Monte Carlo es un método númerico para resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. El método de Monte Carlo fue llamado así por su analogía con los juegos de ruleta en casinos, el más famoso de los cuales es el casino Monte Carlo cuya construcción fue propuesta en 1856 por el principe Charles III de Mónaco, siendo inaugurado en 1861. La gran importancia del Método de Monte Carlo esta en el hecho de que puede atacar problemas muy complicados que están vinculados con procesos aleatorios o que se les puede asociar con una estructura artificial probabilística (Resolver integrales de varias variables, minimizar funciones, etc.) con un algoritmo relativamente sencillo. Gracias a los avances en las construcciones computacionales, con el Método de Monte Carlo hoy se pueden resolver problemas que alguna vez hubiesen sido impensables. En estos métodos se comete un error aproximado de 1 p N donde N es el número de iteraciones y así para ganar una decima adicional de aproximación se necesita incrementar en 100 veces a N. Los problemas que trataremos aquí son las ecuaciones ordinarias y ecuaciones elípticas, cuyas teorías de existencia y regularidad han sido estudiadas ampliamente, ver [5]. En este trabajo estudiaremos un método de Monte Carlo para hallar la solución numérica de una ecuación elíptica lineal. Esta tesis se estructura de la siguiente manera. En el primer capítulo describimos algunas nociones elementales de probabilidad que serán usadas en este trabajo. En el capítulo 2 damos un repaso del Método de diferencias finitas y su relación con las cadenas de Markov. En el capítulo 3, damos un ejemplo sencillo donde se hace uso del Método de Monte Carlo, uno de ellos es el cálculo de integrales, y otro la resolución de un problema de frontera para una ecuación diferencial ordinaria (aquí hacemos uso del famoso juego de la ruina). En el capítulo 4 aplicamos el Método de Montecarlo a ecuaciones diferenciales elípticas.
