Turbulencia y soluciones débiles de las ecuaciones de Euler

Abstract

En el presente proyecto se realiza un estudio y discusión desde un enfoque distinto de la mecánica clásica, específicamente trabajando con el modelo para un fluido sin viscosidad e incompresible descrito por las ecuaciones de Euler. Para ello, se comienza con una motivación, dando ejemplos aplicados al oscilador armónico y a una membrana elástica, donde se introduce el concepto de formulación débil. Posteriormente, se hace una introducción preliminar para familiarizarse con las herramientas matemáticas requeridas para abordar con profundidad la formulación débil que surge de la formulación variacional de Lagrange, definiendo conceptos como derivada débil, espacios de Sobolev y funciones de soporte compacto. Luego, se hace una demostración de la relación que existe entre la formulación débil y fuerte, demostrando su equivalencia en algunos casos. Además, se realiza el desarrollo variacional de las ecuaciones de Euler para obtener la formulación débil de las ecuaciones dinámicas del fluido y se da una idea de como dar una solución a las ecuaciones al incluir ciertas restricciones a las variables. Después se hace una discusión de la importancia de la vorticidad para determinar la transición de un régimen laminar hacia uno turbulento y como el principio de la conservación de la energía presenta inconvenientes cuando se acerca a las regiones de singularidad del fluido. Finalmente, se aborda un marco teórico desarrollado por el matemático Andréi Kolmogorov desde una perspectiva un poco más cualitativa y no tan rigurosa, para entender lo que ocurre con la energía, a diferentes escalas de un fluido, para luego finalizar con unas conclusiones y desarrollo de las ideas estudiadas durante este trabajo.