A direct proof of the existence of pure strategy equilibria in large generalized games with atomic players

Abstract

Consider a game with a continuum of players where only a finite number of them are atomic. Objective functions and admissible strategies may dependon the actions chosen by atomic players and on aggregate information about theactions chosen by non-atomic players. Only atomic players are required to haveconvex sets of admissible strategies and quasi-concave objective functions. In thiscontext, we prove the existence of pure strategy Nash equilibria, a result that ex-tends Rath (1992, Theorem 2) to generalized games and gives a direct proof of aspecial case of Balder (1999, Theorem 2.1). Our proof has the merit of being simple,based only on standard fixed point arguments and finite dimensional real analysis.

Considere un juego con un continuo de jugadores y un número finito de jugadores atómicos. Las funciones objetivo y estrategias admisibles pueden depender de las acciones de los jugadores atómicos y de información agregada de las acciones de los jugadores no atómicos. Sólo los jugadores atómicos deben tener espacios de acciones convexos y funciones objetivo cuasi cóncavas. En este contexto, probamos las existencias de equilibrios de Nash en estrategias puras, un resultado que extiende el resultado de Rath (1992, Teorema 2) a juegos generalizados y es una prueba directa de un caso especial de Balder (1999, Teorema 2.1). Nuestra prueba tiene el mérito de ser simple, basada en argumentos estándar de punto fijo y análisis real en finitas dimensiones.